これは http://mitochondrion.jp/ に掲載している「医学日記」を、諸般の便宜のために、 1 記事 1 ファイルとして形成し直したものです。 簡単なプログラムで自動生成しているので、体裁の乱れなどが一部にあるかと思われますが、ご容赦ください。

2013/09/24 医学部のための統計学 (3)

• A 君 「で、正規分布を仮定したら、何がわかるんだい。」
• O 君 「T 検定をすれば良い。」
• K 君 「厳密な議論をすれば、最尤推定法などが関係して、かなりややこしくなるがね。」

この場合の T 検定とは、大腸癌患者と健常者で、いずれも血中 B 濃度は正規分布に従うという仮定の下で 「大腸癌患者における血中 B 濃度は健常者の血中 B 濃度と異なる平均値の正規分布に従う」という命題の 真偽を調べることである。

• O 君 「大腸癌患者と健常者の両者で血中 B 濃度がそれぞれ正規分布に従うならば、 その差も正規分布に従うことが知られている。」
• K 君 「正規分布の再生性というやつだな。」

大腸癌患者の血中 B 濃度の平均が m₁, 健常者の血中 B 濃度が平均 m₂ であるとき、 もし両群が同じ分布に従っているのであれば、m₁ - m₂ = 0 となるはずである。

• A 君 「しかし、大腸癌の正規分布も健常者の正規分布も、 臨床的な測定データから推定しているのだから、差が厳密に 0 になるということは 現実的には、あり得ないのではないか。」
• O 君 「うん。だから、 実際上は『平均が十分大きい、あるいは十分小さいならば、 両群は異なる正規分布に従っているといえる』ということになるね。」
• A 君 「ややこしい表現だね。」
• K 君 「要するに、両群の平均の差が 0 に近い場合には、 差があるんだか無いんだか、よくわからない、ということだな。」
• A 君 「では、両群が同じ正規分布に従っている、ということを確認するには、どうすれば良いんだい。」
• O 君 「残念ながら、それを確認することは不可能なのだよ。」

ここが、検定の理論の一つの山場である。 検定の結果として「両群が異なる分布に従っている」という結論が得られることはあっても、 「両群が同じ分布に従っている」という結論が得られることは、決して無いのだ。 すなわち「完全に厳密に一致しているもの」と「ほんの少し、ごく僅かだけずれているもの」とを、 実験的に鑑別することは不可能なのである。 ただし「差があるとしても、それは最大いくらぐらいであるか」を推定することはできる。 この話は、また後日になるだろう。

• A 君 「なるほど。では、どのくらい大きければ『十分大きい』といえるんだい。」
• K 君 「それは非常に主観的な問題だね。君が好きに決めると良い。」
• A 君 「おいおい、無茶を言うなよ。」
• O 君 「生物学の世界では p < 0.05 が成立するかどうかで決めることが多いけど、 特に何か理論的根拠があるわけではないし、単なる慣習の問題だね。」
• A 君 「p 値というものをしばしば耳にするけど、あれは一体、何のことなんだい。」

p 値については、何となく知っている人は多いと思われるが、 厳密に理解している人は少ないように思われる。 このあたりの議論から、いよいよ確率論の深淵なる奈落の底が垣間みえるのである。